1．抽象与简易性

    有些人提起数学就害怕，怕什么呢？怕抽象，这是一种误解（正是这种误解使很多人不愿学数学）。对，数学是抽象，1+2就等于3，实际上这是一种简化，你管他是什么三个人呢还是三只老虎，反正是三就行了。因为就实际问题来说，一般都是非常复杂的，相关因素非常多。普通人觉得无从下手。学数学人他可以把问题作某些简化，理想化，去掉比较次要的因素和背景找出主要因素的数量关系（方程），这种方法非常有效。蓍名的数学家徐利治先生，特别追求和提倡数学的简易性，他在学生时代听过一位欧洲蓍名数学家一句名言，数学为的是简单性（Mathematcs is for simplicity），他在80多岁时回忆说，如果说以往50年间我能对数学科研与教学工作做了一些贡献的话，那么就必须归功于“数学为的是简单性”这句名言对我的深刻启示力量。
    他们可以在纷繁的世界中，一眼就看到世界的本质，给出已知和求证，他们就可以证明。世界很多大的跨国公司养了一批专职数学家，待遇很高，很宽松，平时没有可干，专解决别人不容易解决的事，几年前有位贝尔公司旗下的数学家到中国来玩，他说平时非常宽松，只是到关键时刻比如几个城市间建通讯网，如何去铺电话线最短，可能一下就能节省几个亿。
运筹学就是二战之后发展起来的数学分支，当时德军无论在装备还是军队都优于联军，据说联军方面请了一批包括冯诺依曼世界级有数学家，就是解决如何在劣势情况下打胜仗，运筹学的英文“operations research”一词的原意即作战研究。事实上，在二战期间，运筹学工作者解决了很多战争的课题。例如：通过适当配备护航舰队减少了船只受到潜艇攻击的损失；通过改造深水炸弹投放的深度，使德国的潜水艇的死亡率提高，以及根据飞机出动架次作出维修安排，提高了作战飞机的作战效率等（我看过一份材料，据说，当时德军的潜艇令联军非常头痛，他们想了很多办法，通过改造炸弹的威力、投放的密度等，效果都不明显，最后数学工作者解决问题，他们会利用已知条件求最优解）。二战后1944年，这本由冯诺依曼和摩根合蓍的“博奕论与经济行为”问世。因为“仗“不能天天打，经济行为却一刻也不能停止。

2．演绎性与严谨性

    数学有一个明显与其它学科不同的是定义多，定理多，因为抽象你必须清楚的定义，每个字每句话，都有它的意义，缺一不可，体现数学的精，比如，什么是矩阵，什么是导数，必须定义才知道，给出一个结论，也必须一步一步的推证，比如三角形内角和180，你必须严格地证明，举多少例子，测量多少次都不行，哥德巴赫猜想可用计算机编程一直验证到4个亿以上，哪也不能说这个结论对，这也从一方面体现了数学求真。所以，数学素质好的人，决不会偏听偏信，到处传谣（题外话）。这里介绍一个哥德巴赫猜想，任何一个大于4的偶数都可以写成两个素数之和，开始人们人们不完全能证明这个结果，但可证明每个大偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和，记为9+9，1953中国的华罗庚组织了一个讨论班，产生了丰硕的成果，1957年王元证明了2+3，1962年潘承洞证明了1+5，1965年欧洲邦别里（E。Bombieri）证明了1+3，认为到顶了，并得了数学的费尔茨奖，仅一年之后中国的陈景润证明了1+2（1973年发表），陈景润的结果被认为是筛法理论的光辉顶点，它使数学家们离开哥德巴赫猜想的最终证明1+1似乎只有一步之遥，但这一步，经过30多年后至今仍无人跨越。
    再介绍一个费尔马大定理，无非零整数解。 时是勾股定理，历时300多年没有能证明，直到1994年由英国数学家维尔斯（A。Wiles）完成，维尔斯从小梦想证明这个定理，在他是孩子时，老师就告诉他有这么个世界难题，他开始为之努力，收集资料，30多岁成为教授，但1986年后没有消息了，沉寂近10年，1994年9月完成了费尔马大定理的证明。这个定理的证明非常复杂，长达200多页1995年5月发表在美国《数学年刊》上。维尔斯1994年刚过40岁生日这使他错过了得菲尔茨奖的机会，不过，1996年，他成为迄今最年青的沃尔夫奖得主。在1998年柏林国际数学家大会上，维尔斯又被授予了特别荣誉奖。

3．数学的辩证统一性

    前面我们说过数学是研究客观世界的，客观世界充满矛盾，到处都是辩证法。老式的大烟筒，从远处看是圆形的（圆柱），但它是用方砖砌成的。就说我们脚下的大地吧，好象是平的，但是在宇宙飞船里看却是圆的。直与曲都是相对的。精确与近似也是相对的，再精确的尺，再精确的度量工具都是人做的，不可能没有误差。有人说计算机准，你错了，计算机都有位，16、32、64等，这些也决定它最高能保留多少有效数位。就算都是整数运算，1除以3等于多少呢。给你一个单位圆，让你求一下它的面积，你知道等于π乘r的平方（S=πr2=π）。正确，怎么来的？如果再让你求一块不规则图形的面积，你怎么办，你再用中学1+2=3那是解决不了问题的。我们再说一个生活中的小例子，一辆奔驰的汽车，速度是变的。如何求它在某一时刻的速度呢？我们中学就知道等于路程除以时间 （如从上午八点到十点2小时跑100公里v=50公里是这两小时内的平均速度）。我问你九点钟时速度是多少，时间取短点？但时间再短，它也有个数2秒、1秒，而某一刻时间改变应是0，路程除以时间没有意义了。你说这一刻没速度？肯定不对。这不是矛盾吗。还有如何求曲线的切线等问题。这就是数学的第二次危机。解决这次危机的关键人物是牛顿和莱布尼茨，1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，两年后（1686年）莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，牛顿是在1687年在他的《原理》中发布的。并在前言中说明 “十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，…。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。”但后来《原理》更有名，还引起了发明权之争，是一位瑞士数学家提出的，说牛顿是微积分的第一发明人，莱布尼茨的追随者不同义，牛顿在《原理》第三版前言中也把那一段删去了，其实二人之间互相还是比较仰慕的。有一则记载说，1701年在微积分的出现结束了长达半个世纪的数学的第二次危机。是数学的一次大革命。恩格斯把微积分的创立称为“人类精神的最高胜利”，计算机之父冯诺依曼说“微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分”。
    我再简要介绍一下第一次和第三次数学危机。第一次数学危机发生在数身上，古希腊数学认为，在数学中，算术比几何是更基本的。算术以数为基础，数则由整数组成，分数不过是两整数之比，一切几何量都可由数表示，亦即可由整数和可比数表示。但后来发现边长为1的正方形对角线没办法表示，（就是 ），它不是任何整数的比，其实它不是有理数，后来发现了很多，正五形对角线等。这场危机从公元前一直拖到公元后19世纪才完全解决。在此期间，数学还得发展，只能无可奈何地和这些“异物”打交道，所以，很自然地叫成了“无理数”。第一次数学危机时间最长。
第三次数学危机在19世纪末，人们在问数学的基础在那里？算术以数为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面为对象，那么整个数学到底以什么为对象呢，集合论出现了，集合论有可能成为整个数学的基础。一名叫弗雷格的数学家还专门写了一本叫算术基础的书，正当弗雷格的这本算术基础即将出版的时候，罗素的集合论悖论出来了（1903年）。如理发师的故事等，这个悖论震撼了整个数学世界，我们的数学竟是建立在这种不相容的系统之上的，这使得数学面临一场极大的危机。经过包括策梅洛、弗兰克尔以及罗素本人的努力，建立起了一套公理，使集合论建立在公理基础之上。

4．应用的广泛性

    这同样是由他的研究对象的抽象性决定的，也就是说，正是因为数学抽象，所以，其结论应用十分广泛。数字是有徐徐多多事物抽象而来，它不代表任何意义，也正是它不代表任何意义，所以它可以应用在任何地方。2+3=5它不仅适用于人，也适用于书、本、笔等等。
在数学中，同一个方程式完全可能代表着互不相干的事物的某种相同规律。同一个拉普拉斯方程可能代表许多不同的物理现象。某种生物种类群体的数量变化可能与市场某种商品的价格涨落满足同一数学模型。所有这些就是数学抽象力量的所在。
数学应用的广泛性的另一个标志就是其在其它学科中的特殊地位与作用。数学是各门科学的语言。物理定律及原理都是用数学语言描述的，数学在力学与物理学中的地位与作用是人所共知的。
大家知道法拉弟是一位伟大的物理学家（实验物理学家）他通过实验发现了电场、磁场、电力线、磁力线、电与磁的对称关系等，但他数学功底不够（相对来说），不能上升为理论（没有可操作性）。麦克斯韦确有很好的数学功底，他用微分方程和向量代数等数学方法，完整地揭示上述现象，1862年发表了划时代的论文《论物理的力线》，使得这些理论有了广泛的应用。象今天的无线广播、电视、雷达通讯遥控等，都是以它为基础的。